Здравствуйте, Марина!!
Фобии - это иррациональный страх, которму трудно дать логическое обоснование. Тогда как у вашего племянника никаких фобий нет, а есть просто страх и нежелание того, чтобы неприятная ситуация в которой он был, повторилась. Это больше напоминает болезенную фиксацию на травмирующей ситуации и невозможность признать, что контакт с медицинскими работниками бывает таким НЕ ВСЕГДА. Поэтому для того, чтобы страх перед врачами стал не таким выраженным, этот опыт нужно приобрести. Здесь поможет либо, как ни банально, время и взросление, либо можно походить к детскому психологу, который без белого халата попробует эту фиксацию сдвинуть.
Если нужны рекомндации, напишите в личку.